Leysa {r}{25x+15y=1025}{x+y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { 25 x + 15 y = 1025 } \\ { x + y = 55 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=20$$

$$y=35$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$25x+15y=1025,x+y=55$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$25x+15y=1025$$

Dragðu 15y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25x=-15y+1025$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-15y+1025\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{25} sinnum -15y+1025.

$$x=-\frac{3}{5}y+41$$

Settu -\frac{3y}{5}+41 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=55.

$$-\frac{3}{5}y+41+y=55$$

Leggðu -\frac{3y}{5} saman við y.

$$\frac{2}{5}y+41=55$$

Dragðu 41 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{2}{5}y=14$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=35$$

Skiptu 35 út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+41. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\times 35+41$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum 35.

$$x=-21+41$$

Leggðu 41 saman við -21.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=35$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$25x+15y=1025,x+y=55$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1025\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1025\\55\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1025\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&15\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1025\\55\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-15}&-\frac{15}{25-15}\\-\frac{1}{25-15}&\frac{25}{25-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1025\\55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{10}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1025\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 1025-\frac{3}{2}\times 55\\-\frac{1}{10}\times 1025+\frac{5}{2}\times 55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\35\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=20,y=35$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$25x+15y=1025,x+y=55$$

Til að gera 25x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 25.

$$25x+15y=1025,25x+25y=25\times 55$$

Einfaldaðu.

$$25x+15y=1025,25x+25y=1375$$

Dragðu 25x+25y=1375 frá 25x+15y=1025 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$25x-25x+15y-25y=1025-1375$$

Leggðu 25x saman við -25x. Liðirnir 25x og -25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-25y=1025-1375$$

Leggðu 15y saman við -25y.

$$-10y=1025-1375$$

Leggðu 1025 saman við -1375.

$$-10y=-350$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=35$$

Skiptu 35 út fyrir y í x+y=55. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+35=55$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=35$$