Leysa {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$22x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$22x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{22} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Settu \frac{-3y+5}{22} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

Leggðu -\frac{9y}{22} saman við 2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Dragðu \frac{15}{22} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{35}{22}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{305}{7}$$

Skiptu \frac{305}{7} út fyrir y í x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{22} sinnum \frac{305}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Leggðu \frac{5}{22} saman við -\frac{915}{154} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Til að gera 22x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 22.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Einfaldaðu.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Dragðu 66x+44y=1540 frá 66x+9y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

Leggðu 66x saman við -66x. Liðirnir 66x og -66x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-44y=15-1540$$

Leggðu 9y saman við -44y.

$$-35y=15-1540$$

Leggðu 15 saman við -1540.

$$-35y=-1525$$

Deildu báðum hliðum með -35.

$$y=\frac{305}{7}$$

Skiptu \frac{305}{7} út fyrir y í 3x+2y=70. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Dragðu \frac{610}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$