Leysa {r}{2x-y=5}{3x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x - y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=5,3x+2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{5+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=4$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+2y=4$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við 2y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}=4$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{7}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -1.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=5,3x+2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\times 4\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{2}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=5,3x+2y=4$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 4$$

Einfaldaðu.

$$6x-3y=15,6x+4y=8$$

Dragðu 6x+4y=8 frá 6x-3y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-3y-4y=15-8$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-4y=15-8$$

Leggðu -3y saman við -4y.

$$-7y=15-8$$

Leggðu 15 saman við -8.

$$-7y=7$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 3x+2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$3x-2=4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$