Leysa {r}{2x-4y=-7}{x+8y=-1}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x - 4 y = - 7 } \\ { x + 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-4y=-7,x+8y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-4y=-7$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=4y-7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 4y-7.

$$x=2y-\frac{7}{2}$$

Settu 2y-\frac{7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+8y=-1.

$$2y-\frac{7}{2}+8y=-1$$

Leggðu 2y saman við 8y.

$$10y-\frac{7}{2}=-1$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10y=\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=\frac{1}{4}$$

Skiptu \frac{1}{4} út fyrir y í x=2y-\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times \frac{1}{4}-\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1-7}{2}$$

Leggðu -\frac{7}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=\frac{1}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-4y=-7,x+8y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{2\times 8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{2\times 8-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{1}{10}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=\frac{1}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-4y=-7,x+8y=-1$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x-4y=-7,2x+2\times 8y=2\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$2x-4y=-7,2x+16y=-2$$

Dragðu 2x+16y=-2 frá 2x-4y=-7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-4y-16y=-7+2$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-16y=-7+2$$

Leggðu -4y saman við -16y.

$$-20y=-7+2$$

Leggðu -7 saman við 2.

$$-20y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=\frac{1}{4}$$

Skiptu \frac{1}{4} út fyrir y í x+8y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+8\times \frac{1}{4}=-1$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{1}{4}.

$$x+2=-1$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=\frac{1}{4}$$