Leysa {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=10$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Settu -\frac{3y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 6.

$$x=-9+5$$

Leggðu 5 saman við -9.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Til að gera 2x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Einfaldaðu.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Dragðu -6x+2y=36 frá -6x-9y=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Leggðu -6x saman við 6x. Liðirnir -6x og 6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-2y=-30-36$$

Leggðu -9y saman við -2y.

$$-11y=-30-36$$

Leggðu -30 saman við -36.

$$-11y=-66$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í -3x+y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+6=18$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=6$$