Leysa {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$12x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{12} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Settu -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Dragðu \frac{5}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{23}{5}$$

Skiptu \frac{23}{5} út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum \frac{23}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Leggðu \frac{5}{12} saman við -\frac{23}{20} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Til að gera 12x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Einfaldaðu.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Dragðu 36x+24y=84 frá 36x+9y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

Leggðu 36x saman við -36x. Liðirnir 36x og -36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-24y=15-84$$

Leggðu 9y saman við -24y.

$$-15y=15-84$$

Leggðu 15 saman við -84.

$$-15y=-69$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=\frac{23}{5}$$

Skiptu \frac{23}{5} út fyrir y í 3x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Dragðu \frac{46}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$