Leysa {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x-10y=-10$$

Leggðu 10y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=10y-10$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -10+10y.

$$x=y-1$$

Settu y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

Margfaldaðu -10 sinnum y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

Leggðu -10y saman við 8y.

$$-2y+10=12$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1-1$$

Leggðu -1 saman við -1.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Til að gera 10x og -10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

Einfaldaðu.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

Dragðu -100x+80y=120 frá -100x+100y=100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

Leggðu -100x saman við 100x. Liðirnir -100x og 100x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$100y-80y=100-120$$

Leggðu 100y saman við -80y.

$$20y=100-120$$

Leggðu 100 saman við -120.

$$20y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -10x+8y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

Margfaldaðu 8 sinnum -1.

$$-10x-8=12$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-10x=20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-1$$