Leysa {r}{-v+2d=-10}{d+3v=9}

$$\left. \begin{array} { r } { - v + 2 d = - 10 } \\ { d + 3 v = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir v, d

$$v=4$$

$$d=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu v með því að einangra v vinstra megin við samasemmerkið.

$$-v+2d=-10$$

Dragðu 2d frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-v=-2d-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$v=-\left(-2d-10\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -2d-10.

$$v=2d+10$$

Settu 10+2d inn fyrir v í hinni jöfnunni, 3v+d=9.

$$3\left(2d+10\right)+d=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum 10+2d.

$$6d+30+d=9$$

Leggðu 6d saman við d.

$$7d+30=9$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7d=-21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$d=-3$$

Skiptu -3 út fyrir d í v=2d+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst v strax.

$$v=2\left(-3\right)+10$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3.

$$v=-6+10$$

Leggðu 10 saman við -6.

$$v=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$v=4,d=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&-\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-10\right)+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\left(-10\right)+\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna v og d.

$$v=4,d=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Til að gera -v og 3v jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$3\left(-1\right)v+3\times 2d=3\left(-10\right),-3v-d=-9$$

Einfaldaðu.

$$-3v+6d=-30,-3v-d=-9$$

Dragðu -3v-d=-9 frá -3v+6d=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3v+3v+6d+d=-30+9$$

Leggðu -3v saman við 3v. Liðirnir -3v og 3v núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6d+d=-30+9$$

Leggðu 6d saman við d.

$$7d=-30+9$$

Leggðu -30 saman við 9.

$$7d=-21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$d=-3$$

Skiptu -3 út fyrir d í 3v+d=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst v strax.

$$3v-3=9$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3v=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$v=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$v=4,d=-3$$