Leysa {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x+2y=-39$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-2y-39$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum -2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

Settu \frac{2y+39}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x-5y=55.

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

Leggðu \frac{18y}{7} saman við -5y.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

Dragðu \frac{351}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

Margfaldaðu \frac{2}{7} sinnum -2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

Leggðu \frac{39}{7} saman við -\frac{4}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Til að gera -7x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

Einfaldaðu.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

Dragðu -63x+35y=-385 frá -63x+18y=-351 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

Leggðu -63x saman við 63x. Liðirnir -63x og 63x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y-35y=-351+385$$

Leggðu 18y saman við -35y.

$$-17y=-351+385$$

Leggðu -351 saman við 385.

$$-17y=34$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 9x-5y=55. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

Margfaldaðu -5 sinnum -2.

$$9x+10=55$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=45$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$