Leysa {r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-6x+21y=-24$$

Dragðu 21y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6x=-21y-24$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{6} sinnum -21y-24.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Settu \frac{7y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=24.

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{7y}{2}+4.

$$21y+24-4y=24$$

Leggðu 21y saman við -4y.

$$17y+24=24$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$17y=0$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=\frac{7}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Til að gera -6x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

Einfaldaðu.

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

Dragðu -36x+24y=-144 frá -36x+126y=-144 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

Leggðu -36x saman við 36x. Liðirnir -36x og 36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$126y-24y=-144+144$$

Leggðu 126y saman við -24y.

$$102y=-144+144$$

Leggðu -144 saman við 144.

$$102y=0$$

Deildu báðum hliðum með 102.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 6x-4y=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x=24$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=0$$