Leysa {r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2a+3b=0$$

Dragðu 3b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2a=-3b$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Settu \frac{3b}{2} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a+5b=16.

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{3b}{2}.

$$3b+5b=16$$

Leggðu 3b saman við 5b.

$$8b=16$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$b=2$$

Skiptu 2 út fyrir b í a=\frac{3}{2}b. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum 2.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=3,b=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

Til að gera -2a og 2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

Einfaldaðu.

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

Dragðu -4a-10b=-32 frá -4a+6b=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

Leggðu -4a saman við 4a. Liðirnir -4a og 4a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6b+10b=32$$

Leggðu 6b saman við 10b.

$$16b=32$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$b=2$$

Skiptu 2 út fyrir b í 2a+5b=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$2a+5\times 2=16$$

Margfaldaðu 5 sinnum 2.

$$2a+10=16$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=2$$