Leysa {l}{y=x-500}{0.03x+0.95y=546.25}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 500 } \\ { 0.03 x + 0.95 y = 546.25 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{102125}{98} = 1042\frac{9}{98} \approx 1042.091836735$$

$$y = \frac{53125}{98} = 542\frac{9}{98} \approx 542.091836735$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-500$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-x=-500,0.95y+0.03x=546.25$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-x=-500$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=x-500$$

Settu x-500 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 0.95y+0.03x=546.25.

$$0.95\left(x-500\right)+0.03x=546.25$$

Margfaldaðu 0.95 sinnum x-500.

$$0.95x-475+0.03x=546.25$$

Leggðu \frac{19x}{20} saman við \frac{3x}{100}.

$$0.98x-475=546.25$$

Leggðu 475 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.98x=1021.25$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.98. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{102125}{98}$$

Skiptu \frac{102125}{98} út fyrir x í y=x-500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{102125}{98}-500$$

Leggðu -500 saman við \frac{102125}{98}.

$$y=\frac{53125}{98}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{53125}{98},x=\frac{102125}{98}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-500$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-x=-500,0.95y+0.03x=546.25$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\546.25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-500\\546.25\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-500\\546.25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.95&0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-500\\546.25\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.03}{0.03-\left(-0.95\right)}&-\frac{-1}{0.03-\left(-0.95\right)}\\-\frac{0.95}{0.03-\left(-0.95\right)}&\frac{1}{0.03-\left(-0.95\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-500\\546.25\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{98}&\frac{50}{49}\\-\frac{95}{98}&\frac{50}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-500\\546.25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{98}\left(-500\right)+\frac{50}{49}\times 546.25\\-\frac{95}{98}\left(-500\right)+\frac{50}{49}\times 546.25\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53125}{98}\\\frac{102125}{98}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{53125}{98},x=\frac{102125}{98}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-500$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-x=-500,0.95y+0.03x=546.25$$

Til að gera y og \frac{19y}{20} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.95 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.95y+0.95\left(-1\right)x=0.95\left(-500\right),0.95y+0.03x=546.25$$

Einfaldaðu.

$$0.95y-0.95x=-475,0.95y+0.03x=546.25$$

Dragðu 0.95y+0.03x=546.25 frá 0.95y-0.95x=-475 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.95y-0.95y-0.95x-0.03x=-475-546.25$$

Leggðu \frac{19y}{20} saman við -\frac{19y}{20}. Liðirnir \frac{19y}{20} og -\frac{19y}{20} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.95x-0.03x=-475-546.25$$

Leggðu -\frac{19x}{20} saman við -\frac{3x}{100}.

$$-0.98x=-475-546.25$$

Leggðu -475 saman við -546.25.

$$-0.98x=-1021.25$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.98. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{102125}{98}$$

Skiptu \frac{102125}{98} út fyrir x í 0.95y+0.03x=546.25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$0.95y+0.03\times \frac{102125}{98}=546.25$$

Margfaldaðu 0.03 sinnum \frac{102125}{98} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$0.95y+\frac{12255}{392}=546.25$$

Dragðu \frac{12255}{392} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.95y=\frac{201875}{392}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.95. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{53125}{98}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{53125}{98},x=\frac{102125}{98}$$