Leysa {l}{y=x+1500}{0.06x+0.10y=1070}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1500 } \\ { 0.06 x + 0.10 y = 1070 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=5750$$

$$y=7250$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=1500$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-x=1500$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=x+1500$$

Settu x+1500 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 0.1y+0.06x=1070.

$$0.1\left(x+1500\right)+0.06x=1070$$

Margfaldaðu 0.1 sinnum x+1500.

$$0.1x+150+0.06x=1070$$

Leggðu \frac{x}{10} saman við \frac{3x}{50}.

$$0.16x+150=1070$$

Dragðu 150 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.16x=920$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.16. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=5750$$

Skiptu 5750 út fyrir x í y=x+1500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=5750+1500$$

Leggðu 1500 saman við 5750.

$$y=7250$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=7250,x=5750$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=1500$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-\left(-0.1\right)}&-\frac{-1}{0.06-\left(-0.1\right)}\\-\frac{0.1}{0.06-\left(-0.1\right)}&\frac{1}{0.06-\left(-0.1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375&6.25\\-0.625&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375\times 1500+6.25\times 1070\\-0.625\times 1500+6.25\times 1070\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7250\\5750\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=7250,x=5750$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=1500$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Til að gera y og \frac{y}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.1y+0.1\left(-1\right)x=0.1\times 1500,0.1y+0.06x=1070$$

Einfaldaðu.

$$0.1y-0.1x=150,0.1y+0.06x=1070$$

Dragðu 0.1y+0.06x=1070 frá 0.1y-0.1x=150 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.1y-0.1y-0.1x-0.06x=150-1070$$

Leggðu \frac{y}{10} saman við -\frac{y}{10}. Liðirnir \frac{y}{10} og -\frac{y}{10} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.1x-0.06x=150-1070$$

Leggðu -\frac{x}{10} saman við -\frac{3x}{50}.

$$-0.16x=150-1070$$

Leggðu 150 saman við -1070.

$$-0.16x=-920$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.16. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=5750$$

Skiptu 5750 út fyrir x í 0.1y+0.06x=1070. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$0.1y+0.06\times 5750=1070$$

Margfaldaðu 0.06 sinnum 5750.

$$0.1y+345=1070$$

Dragðu 345 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.1y=725$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$y=7250$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=7250,x=5750$$