Leysa {l}{y=5x+3}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=-4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-5x=3$$

Leggðu 5x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=5x+3$$

Settu 5x+3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+2x=-4.

$$5x+3+2x=-4$$

Leggðu 5x saman við 2x.

$$7x+3=-4$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-7$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í y=5x+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=5\left(-1\right)+3$$

Margfaldaðu 5 sinnum -1.

$$y=-5+3$$

Leggðu 3 saman við -5.

$$y=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-2,x=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=-4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-2,x=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=-4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Dragðu y+2x=-4 frá y-5x=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-5x-2x=3+4$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5x-2x=3+4$$

Leggðu -5x saman við -2x.

$$-7x=3+4$$

Leggðu 3 saman við 4.

$$-7x=7$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í y+2x=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$y-2=-4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-2,x=-1$$