Leysa {l}{y=4x-9}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 9 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-4x=-9$$

Leggðu 4x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=4x-9$$

Settu 4x-9 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-x=-3.

$$4x-9-x=-3$$

Leggðu 4x saman við -x.

$$3x-9=-3$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y=4x-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=4\times 2-9$$

Margfaldaðu 4 sinnum 2.

$$y=8-9$$

Leggðu -9 saman við 8.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{4}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-1,x=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-9$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Dragðu y-x=-3 frá y-4x=-9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-4x+x=-9+3$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4x+x=-9+3$$

Leggðu -4x saman við x.

$$-3x=-9+3$$

Leggðu -9 saman við 3.

$$-3x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y-x=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2=-3$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=2$$