Leysa {l}{y=3x-2}{y=2x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { y = 2 x + 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=11$$

$$y=31$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-3x=-2,y-2x=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-3x=-2$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=3x-2$$

Settu 3x-2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-2x=9.

$$3x-2-2x=9$$

Leggðu 3x saman við -2x.

$$x-2=9$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=11$$

Skiptu 11 út fyrir x í y=3x-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=3\times 11-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum 11.

$$y=33-2$$

Leggðu -2 saman við 33.

$$y=31$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=31,x=11$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-3x=-2,y-2x=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+3\times 9\\-\left(-2\right)+9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=31,x=11$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-3x=-2,y-2x=9$$

Dragðu y-2x=9 frá y-3x=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-3x+2x=-2-9$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3x+2x=-2-9$$

Leggðu -3x saman við 2x.

$$-x=-2-9$$

Leggðu -2 saman við -9.

$$-x=-11$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=11$$

Skiptu 11 út fyrir x í y-2x=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2\times 11=9$$

Margfaldaðu -2 sinnum 11.

$$y-22=9$$

Leggðu 22 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=31$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=31,x=11$$