Leysa {l}{y=2x+3}{y=6x+15}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = 6 x + 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$y-6x=15$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-2x=3$$

Leggðu 2x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=2x+3$$

Settu 2x+3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-6x=15.

$$2x+3-6x=15$$

Leggðu 2x saman við -6x.

$$-4x+3=15$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-3$$

Skiptu -3 út fyrir x í y=2x+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3.

$$y=-6+3$$

Leggðu 3 saman við -6.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$y-6x=15$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-2\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 15\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-3,x=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6x frá báðum hliðum.

$$y-6x=15$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-2x=3,y-6x=15$$

Dragðu y-6x=15 frá y-2x=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-2x+6x=3-15$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2x+6x=3-15$$

Leggðu -2x saman við 6x.

$$4x=3-15$$

Leggðu 3 saman við -15.

$$4x=-12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-3$$

Skiptu -3 út fyrir x í y-6x=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-6\left(-3\right)=15$$

Margfaldaðu -6 sinnum -3.

$$y+18=15$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=-3$$