Leysa {l}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 0.5x frá báðum hliðum.

$$y-0.5x=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-0.5x=2$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=0.5x+2$$

Settu \frac{x}{2}+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

Leggðu \frac{3x}{2} saman við x.

$$2.5x+6=1$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2.5x=-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 2.5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í y=0.5x+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

Margfaldaðu 0.5 sinnum -2.

$$y=-1+2$$

Leggðu 2 saman við -1.

$$y=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=1,x=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 0.5x frá báðum hliðum.

$$y-0.5x=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=1,x=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 0.5x frá báðum hliðum.

$$y-0.5x=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Til að gera y og 3y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

Einfaldaðu.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

Dragðu 3y+x=1 frá 3y-1.5x=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-1.5x-x=6-1$$

Leggðu -\frac{3x}{2} saman við -x.

$$-2.5x=6-1$$

Leggðu 6 saman við -1.

$$-2.5x=5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -2.5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í 3y+x=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3y-2=1$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=1,x=-2$$