Leysa {l}{y=-x+6}{y=1/2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+x=6$$

Dragðu x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-x+6$$

Settu -x+6 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-\frac{1}{2}x=-1.

$$-x+6-\frac{1}{2}x=-1$$

Leggðu -x saman við -\frac{x}{2}.

$$-\frac{3}{2}x+6=-1$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}x=-7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{14}{3}$$

Skiptu \frac{14}{3} út fyrir x í y=-x+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{14}{3}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{14}{3}.

$$y=\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1$$

Dragðu y-\frac{1}{2}x=-1 frá y+x=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+x+\frac{1}{2}x=6+1$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+\frac{1}{2}x=6+1$$

Leggðu x saman við \frac{x}{2}.

$$\frac{3}{2}x=6+1$$

Leggðu 6 saman við 1.

$$\frac{3}{2}x=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{14}{3}$$

Skiptu \frac{14}{3} út fyrir x í y-\frac{1}{2}x=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-\frac{1}{2}\times \frac{14}{3}=-1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{14}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y-\frac{7}{3}=-1$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}$$