Leysa {l}{y=-x+2}{x-2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { x - 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=6$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+x=2,-2y+x=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+x=2$$

Dragðu x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-x+2$$

Settu -x+2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+x=14.

$$-2\left(-x+2\right)+x=14$$

Margfaldaðu -2 sinnum -x+2.

$$2x-4+x=14$$

Leggðu 2x saman við x.

$$3x-4=14$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=18$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í y=-x+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-6+2$$

Leggðu 2 saman við -6.

$$y=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-4,x=6$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+x=2,-2y+x=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 14\\\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-4,x=6$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu x við báðar hliðar.

$$y+x=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+x=2,-2y+x=14$$

Dragðu -2y+x=14 frá y+x=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y+2y+x-x=2-14$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+2y=2-14$$

Leggðu y saman við 2y.

$$3y=2-14$$

Leggðu 2 saman við -14.

$$3y=-12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í -2y+x=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2\left(-4\right)+x=14$$

Margfaldaðu -2 sinnum -4.

$$8+x=14$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-4,x=6$$