Leysa {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{7}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{2}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Dragðu \frac{7x}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

Settu -\frac{7x}{3}+3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

Leggðu -\frac{7x}{3} saman við \frac{2x}{3}.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í y=-\frac{7}{3}x+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

Margfaldaðu -\frac{7}{3} sinnum 3.

$$y=-7+3$$

Leggðu 3 saman við -7.

$$y=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-4,x=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{7}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{2}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-4,x=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{7}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{2}{3}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

Dragðu y+\frac{2}{3}x=-2 frá y+\frac{7}{3}x=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

Leggðu \frac{7x}{3} saman við -\frac{2x}{3}.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

Leggðu 3 saman við 2.

$$\frac{5}{3}x=5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í y+\frac{2}{3}x=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 3.

$$y+2=-2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-4,x=3$$