Leysa {l}{y=-3/4kx}{3x^2+4y^2=18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 k } x } \\ { 3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2\sqrt{\frac{6}{4k^{2}+3}}k\text{, }y=-\frac{3\sqrt{\frac{6}{4k^{2}+3}}}{2}$$

$$x=-2\sqrt{\frac{6}{4k^{2}+3}}k\text{, }y=\frac{3\sqrt{\frac{6}{4k^{2}+3}}}{2}\text{, }k\neq 0$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4k.

$$y\times 4k=\left(-\frac{3}{4k}\right)x\times 4k$$

Sýndu \left(-\frac{3}{4k}\right)x sem eitt brot.

$$y\times 4k=\frac{-3x}{4k}\times 4k$$

Sýndu \frac{-3x}{4k}\times 4 sem eitt brot.

$$y\times 4k=\frac{-3x\times 4}{4k}k$$

Styttu burt 4 í bæði teljara og samnefnara.

$$y\times 4k=\frac{-3x}{k}k$$

Sýndu \frac{-3x}{k}k sem eitt brot.

$$y\times 4k=\frac{-3xk}{k}$$

Styttu burt k í bæði teljara og samnefnara.

$$y\times 4k=-3x$$

Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y\times 4k+3x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4ky+3x=0,3x^{2}+4y^{2}=18$$

Leystu 4ky+3x=0 fyrir y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$4ky+3x=0$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4ky=-3x$$

Deildu báðum hliðum með 4k.

$$y=\left(-\frac{3}{4k}\right)x$$

Settu \left(-\frac{3}{4k}\right)x inn fyrir y í hinni jöfnunni, 3x^{2}+4y^{2}=18.

$$3x^{2}+4\left(\left(-\frac{3}{4k}\right)x\right)^{2}=18$$

Hefðu \left(-\frac{3}{4k}\right)x í annað veldi.

$$3x^{2}+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}x^{2}=18$$

Leggðu 3x^{2} saman við 4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)x^{2}=18$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)x^{2}-18=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2} inn fyrir a, 4\times 0\times 2\left(-\frac{3}{4k}\right) inn fyrir b og -18 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)\left(-18\right)}}{2\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)}$$

Hefðu 4\times 0\times 2\left(-\frac{3}{4k}\right) í annað veldi.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)\left(-18\right)}}{2\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}.

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-12-\frac{9}{k^{2}}\right)\left(-18\right)}}{2\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)}$$

Margfaldaðu -12-\frac{9}{k^{2}} sinnum -18.

$$x=\frac{0±\sqrt{216+\frac{162}{k^{2}}}}{2\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)}$$

Finndu kvaðratrót 216+\frac{162}{k^{2}}.

$$x=\frac{0±\frac{3\sqrt{24k^{2}+18}}{|k|}}{2\left(3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3+4\left(-\frac{3}{4k}\right)^{2}.

$$x=\frac{0±\frac{3\sqrt{24k^{2}+18}}{|k|}}{6+\frac{9}{2k^{2}}}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{0±\frac{3\sqrt{24k^{2}+18}}{|k|}}{6+\frac{9}{2k^{2}}} þegar ± er plús.

$$x=\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{0±\frac{3\sqrt{24k^{2}+18}}{|k|}}{6+\frac{9}{2k^{2}}} þegar ± er mínus.

$$x=-\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}$$

Hægt er að leysa x á tvenna vegu: \frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}} og -\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}. Skiptu \frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}} út fyrir x í jöfnunni y=\left(-\frac{3}{4k}\right)x til að finna samsvarandi lausn fyrir y sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$y=\left(-\frac{3}{4k}\right)\times \frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}$$

Settu núna -\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}} inn fyrir x í jöfnunni y=\left(-\frac{3}{4k}\right)x og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir y sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$y=\left(-\frac{3}{4k}\right)\left(-\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}\right)$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\left(-\frac{3}{4k}\right)\times \frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}},x=\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}\text{ or }y=\left(-\frac{3}{4k}\right)\left(-\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}\right),x=-\frac{12k^{2}}{|k|\sqrt{24k^{2}+18}}$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$x=-2\sqrt{6}\left(4k^{2}+3\right)^{-\frac{1}{2}}k\text{, }y=\frac{3\sqrt{6}\left(4k^{2}+3\right)^{-\frac{1}{2}}}{2}$$

$$x=2\sqrt{6}\left(4k^{2}+3\right)^{-\frac{1}{2}}k\text{, }y=-\frac{3\sqrt{6}\left(4k^{2}+3\right)^{-\frac{1}{2}}}{2}\text{, }k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq 0$$