Leysa {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{1}{2}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Dragðu \frac{x}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Settu -\frac{x}{2}+1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-\frac{1}{2}x=-3.

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Leggðu -\frac{x}{2} saman við -\frac{x}{2}.

$$-x+1=-3$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=-\frac{1}{2}x+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 4.

$$y=-2+1$$

Leggðu 1 saman við -2.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{1}{2}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-1,x=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu \frac{1}{2}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Dragðu y-\frac{1}{2}x=-3 frá y+\frac{1}{2}x=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við \frac{x}{2}.

$$x=1+3$$

Leggðu 1 saman við 3.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y-\frac{1}{2}x=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 4.

$$y-2=-3$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=4$$