Leysa {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=160$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{x}{20} frá báðum hliðum.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 20.

$$20y-x=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 80+x með \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Dragðu \frac{1}{30}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$20y-x=0$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$20y=x$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=\frac{1}{20}x$$

Settu \frac{x}{20} inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Leggðu \frac{x}{20} saman við -\frac{x}{30}.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 60.

$$x=160$$

Skiptu 160 út fyrir x í y=\frac{1}{20}x. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

Margfaldaðu \frac{1}{20} sinnum 160.

$$y=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=8,x=160$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{x}{20} frá báðum hliðum.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 20.

$$20y-x=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 80+x með \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Dragðu \frac{1}{30}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=8,x=160$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{x}{20} frá báðum hliðum.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 20.

$$20y-x=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 80+x með \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Dragðu \frac{1}{30}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Til að gera 20y og y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 20.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

Einfaldaðu.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

Dragðu 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} frá 20y-x=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Leggðu 20y saman við -20y. Liðirnir 20y og -20y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Leggðu -x saman við \frac{2x}{3}.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$x=160$$

Skiptu 160 út fyrir x í y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{30} sinnum 160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=8,x=160$$