Leysa {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Deildu í hvern lið í x+3 með 2 til að fá \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Leggðu saman \frac{3}{2} og 3 til að fá \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Settu \frac{9+x}{2} inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Skiptu -\frac{11}{3} út fyrir x í y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{11}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við -\frac{11}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{8}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Deildu í hvern lið í x+3 með 2 til að fá \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Leggðu saman \frac{3}{2} og 3 til að fá \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=10$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Deildu í hvern lið í x+3 með 2 til að fá \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Leggðu saman \frac{3}{2} og 3 til að fá \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=10$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Dragðu y-2x=10 frá y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Leggðu -\frac{x}{2} saman við 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Skiptu -\frac{11}{3} út fyrir x í y-2x=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Dragðu \frac{22}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=\frac{8}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$