Leysa {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{9}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Leggðu \frac{x}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Settu \frac{x}{3}+6 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Leggðu \frac{x}{3} saman við -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Skiptu -\frac{63}{2} út fyrir x í y=\frac{1}{3}x+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -\frac{63}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{9}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{1}{9}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Dragðu y-\frac{1}{9}x=-1 frá y-\frac{1}{3}x=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Leggðu -\frac{x}{3} saman við \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Leggðu 6 saman við 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Skiptu -\frac{63}{2} út fyrir x í y-\frac{1}{9}x=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum -\frac{63}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Dragðu \frac{7}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$