Leysa {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Leggðu \frac{x}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Settu \frac{x}{3}+1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Leggðu \frac{x}{3} saman við -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í y=\frac{1}{3}x+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 3.

$$y=1+1$$

Leggðu 1 saman við 1.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2,x=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=2,x=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Dragðu y-\frac{4}{3}x=-2 frá y-\frac{1}{3}x=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Leggðu -\frac{x}{3} saman við \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Leggðu 1 saman við 2.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í y-\frac{4}{3}x=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum 3.

$$y-4=-2$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=2,x=3$$