Leysa {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{1}{4}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

Settu \frac{x}{2}-4 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+\frac{1}{4}x=-1.

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{3}{4}x=3$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=\frac{1}{2}x-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 4.

$$y=2-4$$

Leggðu -4 saman við 2.

$$y=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-2,x=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{1}{4}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-2,x=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{1}{4}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Dragðu y+\frac{1}{4}x=-1 frá y-\frac{1}{2}x=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Leggðu -\frac{x}{2} saman við -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

Leggðu -4 saman við 1.

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y+\frac{1}{4}x=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 4.

$$y+1=-1$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-2,x=4$$