Leysa {l}{y=1/2x+1}{y=-2x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = - 2 x + 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-\frac{1}{2}x=1,y+2x=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Settu \frac{x}{2}+1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+2x=8.

$$\frac{1}{2}x+1+2x=8$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við 2x.

$$\frac{5}{2}x+1=8$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}x=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{14}{5}$$

Skiptu \frac{14}{5} út fyrir x í y=\frac{1}{2}x+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{2}\times \frac{14}{5}+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{14}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{7}{5}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{7}{5}.

$$y=\frac{12}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{12}{5},x=\frac{14}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{1}{2}x=1,y+2x=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{12}{5},x=\frac{14}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2x við báðar hliðar.

$$y+2x=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{1}{2}x=1,y+2x=8$$

Dragðu y+2x=8 frá y-\frac{1}{2}x=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-\frac{1}{2}x-2x=1-8$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{2}x-2x=1-8$$

Leggðu -\frac{x}{2} saman við -2x.

$$-\frac{5}{2}x=1-8$$

Leggðu 1 saman við -8.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{14}{5}$$

Skiptu \frac{14}{5} út fyrir x í y+2x=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+2\times \frac{14}{5}=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{14}{5}.

$$y+\frac{28}{5}=8$$

Dragðu \frac{28}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=\frac{12}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{12}{5},x=\frac{14}{5}$$