Leysa {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Leggðu \frac{x}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Settu \frac{x}{2}+1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Leggðu x saman við 3x.

$$4x+2=-2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í y=\frac{1}{2}x+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Leggðu 1 saman við -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{1}{2}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Til að gera y og 2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Einfaldaðu.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Dragðu 2y+3x=-2 frá 2y-x=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-x-3x=2+2$$

Leggðu -x saman við -3x.

$$-4x=2+2$$

Leggðu 2 saman við 2.

$$-4x=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í 2y+3x=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -1.

$$2y-3=-2$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$