Leysa {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+4x-6=0$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y+4x=6$$

Dragðu 4x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-4x+6$$

Settu -4x+6 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

Margfaldaðu -1 sinnum -4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

Leggðu 4x saman við 3x.

$$7x-6=7$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=13$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Skiptu \frac{13}{7} út fyrir x í y=-4x+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Til að gera y og -y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Einfaldaðu.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Dragðu -y+3x=7 frá -y-4x+6=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4x-3x+6=-7$$

Leggðu -4x saman við -3x.

$$-7x+6=-7$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-13$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Skiptu \frac{13}{7} út fyrir x í -y+3x=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Dragðu \frac{39}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=\frac{10}{7}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$