Leysa {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+3x=56$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-3x+56$$

Settu -3x+56 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

Margfaldaðu 4 sinnum -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Leggðu -12x saman við x.

$$-11x+224=34$$

Dragðu 224 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-11x=-190$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Skiptu \frac{190}{11} út fyrir x í y=-3x+56. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Leggðu 56 saman við -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Til að gera y og 4y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Einfaldaðu.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Dragðu 4y+x=34 frá 4y+12x=224 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Leggðu 4y saman við -4y. Liðirnir 4y og -4y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12x-x=224-34$$

Leggðu 12x saman við -x.

$$11x=224-34$$

Leggðu 224 saman við -34.

$$11x=190$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Skiptu \frac{190}{11} út fyrir x í 4y+x=34. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Dragðu \frac{190}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{46}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$