Leysa {l}{y+25x=45}{y+.30x=35}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+25x=45$$

Dragðu 25x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-25x+45$$

Settu -25x+45 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+0.3x=35.

$$-25x+45+0.3x=35$$

Leggðu -25x saman við \frac{3x}{10}.

$$-24.7x+45=35$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-24.7x=-10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -24.7. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{100}{247}$$

Skiptu \frac{100}{247} út fyrir x í y=-25x+45. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

Margfaldaðu -25 sinnum \frac{100}{247}.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

Leggðu 45 saman við -\frac{2500}{247}.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Dragðu y+0.3x=35 frá y+25x=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25x-0.3x=45-35$$

Leggðu 25x saman við -\frac{3x}{10}.

$$24.7x=45-35$$

Leggðu 45 saman við -35.

$$24.7x=10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 24.7. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{100}{247}$$

Skiptu \frac{100}{247} út fyrir x í y+0.3x=35. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

Margfaldaðu 0.3 sinnum \frac{100}{247} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

Dragðu \frac{30}{247} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$