Leysa {l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3x+y=x_{6}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3y+x=x_{3}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=x_{6}$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+x_{6}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+x_{6}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

Settu \frac{-y+x_{6}}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=x_{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við 3y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

Dragðu \frac{x_{6}}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Skiptu \frac{3x_{3}-x_{6}}{8} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Leggðu \frac{x_{6}}{3} saman við -\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24}.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3x+y=x_{6}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3y+x=x_{3}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3x+y=x_{6}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3y+x=x_{3}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

Einfaldaðu.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

Dragðu 3x+9y=3x_{3} frá 3x+y=x_{6} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Leggðu y saman við -9y.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Skiptu \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8} út fyrir y í x+3y=x_{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

Dragðu \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$