Leysa {l}{x-y=4}{5x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=4,5x-2y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+4$$

Settu y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-2y=2.

$$5\left(y+4\right)-2y=2$$

Margfaldaðu 5 sinnum y+4.

$$5y+20-2y=2$$

Leggðu 5y saman við -2y.

$$3y+20=2$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-6+4$$

Leggðu 4 saman við -6.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=4,5x-2y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-2-\left(-5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\\-\frac{5}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=4,5x-2y=2$$

Til að gera x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 4,5x-2y=2$$

Einfaldaðu.

$$5x-5y=20,5x-2y=2$$

Dragðu 5x-2y=2 frá 5x-5y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-5y+2y=20-2$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y+2y=20-2$$

Leggðu -5y saman við 2y.

$$-3y=20-2$$

Leggðu 20 saman við -2.

$$-3y=18$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í 5x-2y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-2\left(-6\right)=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum -6.

$$5x+12=2$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-6$$