Leysa {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$2y-x=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=16$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+16$$

Settu y+16 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

Margfaldaðu -1 sinnum y+16.

$$-y-16+2y=5$$

Leggðu -y saman við 2y.

$$y-16=5$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=21$$

Skiptu 21 út fyrir y í x=y+16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=21+16$$

Leggðu 16 saman við 21.

$$x=37$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=37,y=21$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$2y-x=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=37,y=21$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$2y-x=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Til að gera x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

Einfaldaðu.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

Dragðu -x+2y=5 frá -x+y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-2y=-16-5$$

Leggðu y saman við -2y.

$$-y=-16-5$$

Leggðu -16 saman við -5.

$$-y=-21$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=21$$

Skiptu 21 út fyrir y í -x+2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\times 21=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum 21.

$$-x+42=5$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-37$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=37$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=37,y=21$$