Leysa {l}{x-8y=10}{-5x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-6$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-8y=10$$

Leggðu 8y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=8y+10$$

Settu 8y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+10y=10.

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

Margfaldaðu -5 sinnum 8y+10.

$$-40y-50+10y=10$$

Leggðu -40y saman við 10y.

$$-30y-50=10$$

Leggðu 50 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-30y=60$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=8y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=8\left(-2\right)+10$$

Margfaldaðu 8 sinnum -2.

$$x=-16+10$$

Leggðu 10 saman við -16.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-6,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Til að gera x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

Einfaldaðu.

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

Dragðu -5x+10y=10 frá -5x+40y=-50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

Leggðu -5x saman við 5x. Liðirnir -5x og 5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40y-10y=-50-10$$

Leggðu 40y saman við -10y.

$$30y=-50-10$$

Leggðu -50 saman við -10.

$$30y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -5x+10y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

Margfaldaðu 10 sinnum -2.

$$-5x-20=10$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=30$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=-2$$