Leysa {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 5.

$$5x-30=y-6$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$5x-30-y=-6$$

Bættu 30 við báðar hliðar.

$$5x-y=-6+30$$

Leggðu saman -6 og 30 til að fá 24.

$$5x-y=24$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+18=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x+18-y=0$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$2x-y=-18$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=24$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+24$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Settu \frac{24+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Dragðu \frac{48}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=46$$

Skiptu 46 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Leggðu \frac{24}{5} saman við \frac{46}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=46$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 5.

$$5x-30=y-6$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$5x-30-y=-6$$

Bættu 30 við báðar hliðar.

$$5x-y=-6+30$$

Leggðu saman -6 og 30 til að fá 24.

$$5x-y=24$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+18=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x+18-y=0$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$2x-y=-18$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=14,y=46$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 5.

$$5x-30=y-6$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$5x-30-y=-6$$

Bættu 30 við báðar hliðar.

$$5x-y=-6+30$$

Leggðu saman -6 og 30 til að fá 24.

$$5x-y=24$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+18=y$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$2x+18-y=0$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$2x-y=-18$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Dragðu 2x-y=-18 frá 5x-y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5x-2x=24+18$$

Leggðu 5x saman við -2x.

$$3x=24+18$$

Leggðu 24 saman við 18.

$$3x=42$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=14$$

Skiptu 14 út fyrir x í 2x-y=-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\times 14-y=-18$$

Margfaldaðu 2 sinnum 14.

$$28-y=-18$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-46$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=46$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=46$$