Leysa {l}{x-4y=4}{7x-7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-4y=4$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=4y+4$$

Settu 4+4y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-7y=-14.

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

Margfaldaðu 7 sinnum 4+4y.

$$28y+28-7y=-14$$

Leggðu 28y saman við -7y.

$$21y+28=-14$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$21y=-42$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=4y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4\left(-2\right)+4$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2.

$$x=-8+4$$

Leggðu 4 saman við -8.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Til að gera x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

Einfaldaðu.

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

Dragðu 7x-7y=-14 frá 7x-28y=28 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-28y+7y=28+14$$

Leggðu -28y saman við 7y.

$$-21y=28+14$$

Leggðu 28 saman við 14.

$$-21y=42$$

Deildu báðum hliðum með -21.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 7x-7y=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

Margfaldaðu -7 sinnum -2.

$$7x+14=-14$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-28$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-2$$