Leysa {l}{x-4y=-8}{x-2y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = - 8 } \\ { x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-4y=-8$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=4y-8$$

Settu -8+4y inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=-2.

$$4y-8-2y=-2$$

Leggðu 4y saman við -2y.

$$2y-8=-2$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=4y-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=4\times 3-8$$

Margfaldaðu 4 sinnum 3.

$$x=12-8$$

Leggðu -8 saman við 12.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-8\right)+2\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Dragðu x-2y=-2 frá x-4y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x-4y+2y=-8+2$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+2y=-8+2$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y=-8+2$$

Leggðu -8 saman við 2.

$$-2y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x-2y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\times 3=-2$$

Margfaldaðu -2 sinnum 3.

$$x-6=-2$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=3$$