Leysa {l}{x-3y=11}{11y+4x=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=11$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y+11$$

Settu 3y+11 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+11y=12.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

Margfaldaðu 4 sinnum 3y+11.

$$12y+44+11y=12$$

Leggðu 12y saman við 11y.

$$23y+44=12$$

Dragðu 44 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$23y=-32$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

Skiptu -\frac{32}{23} út fyrir y í x=3y+11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{32}{23}.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

Leggðu 11 saman við -\frac{96}{23}.

$$x=\frac{157}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

Einfaldaðu.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

Dragðu 4x+11y=12 frá 4x-12y=44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-11y=44-12$$

Leggðu -12y saman við -11y.

$$-23y=44-12$$

Leggðu 44 saman við -12.

$$-23y=32$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

Skiptu -\frac{32}{23} út fyrir y í 4x+11y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

Margfaldaðu 11 sinnum -\frac{32}{23}.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

Leggðu \frac{352}{23} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{628}{23}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{157}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$