Leysa {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x-3y=-9$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y-9$$

Settu -9+3y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y+1=0.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum -9+3y.

$$9y-27-2y+1=0$$

Leggðu 9y saman við -2y.

$$7y-27+1=0$$

Leggðu -27 saman við 1.

$$7y-26=0$$

Leggðu 26 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=26$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{26}{7}$$

Skiptu \frac{26}{7} út fyrir y í x=3y-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{26}{7}.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

Leggðu -9 saman við \frac{78}{7}.

$$x=\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

Einfaldaðu.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

Dragðu 3x-2y+1=0 frá 3x-9y+27=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y+2y+27-1=0$$

Leggðu -9y saman við 2y.

$$-7y+27-1=0$$

Leggðu 27 saman við -1.

$$-7y+26=0$$

Dragðu 26 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-26$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{26}{7}$$

Skiptu \frac{26}{7} út fyrir y í 3x-2y+1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{26}{7}.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

Leggðu -\frac{52}{7} saman við 1.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

Leggðu \frac{45}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{45}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$