Leysa {l}{x-2y=-5}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 5 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=-5,3x+y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=-5$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y-5$$

Settu 2y-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=6.

$$3\left(2y-5\right)+y=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2y-5.

$$6y-15+y=6$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y-15=6$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=2y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 3-5$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=6-5$$

Leggðu -5 saman við 6.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=-5,3x+y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-5\right)+\frac{2}{7}\times 6\\-\frac{3}{7}\left(-5\right)+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=-5,3x+y=6$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right),3x+y=6$$

Einfaldaðu.

$$3x-6y=-15,3x+y=6$$

Dragðu 3x+y=6 frá 3x-6y=-15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-6y-y=-15-6$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-y=-15-6$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y=-15-6$$

Leggðu -15 saman við -6.

$$-7y=-21$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 3x+y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+3=6$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=3$$