Leysa {l}{x-2y=-11}{3x+7y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 11 } \\ { 3 x + 7 y = 32 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=-11$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y-11$$

Settu 2y-11 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=32.

$$3\left(2y-11\right)+7y=32$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2y-11.

$$6y-33+7y=32$$

Leggðu 6y saman við 7y.

$$13y-33=32$$

Leggðu 33 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$13y=65$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=2y-11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 5-11$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$x=10-11$$

Leggðu -11 saman við 10.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-11\right)+\frac{2}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-11\right)+\frac{1}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-11\right),3x+7y=32$$

Einfaldaðu.

$$3x-6y=-33,3x+7y=32$$

Dragðu 3x+7y=32 frá 3x-6y=-33 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-6y-7y=-33-32$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-7y=-33-32$$

Leggðu -6y saman við -7y.

$$-13y=-33-32$$

Leggðu -33 saman við -32.

$$-13y=-65$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 3x+7y=32. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+7\times 5=32$$

Margfaldaðu 7 sinnum 5.

$$3x+35=32$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=5$$