Leysa {l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-10y=-14$$

Leggðu 10y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=10y-14$$

Settu 10y-14 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x-8y=12.

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

Margfaldaðu -5 sinnum 10y-14.

$$-50y+70-8y=12$$

Leggðu -50y saman við -8y.

$$-58y+70=12$$

Dragðu 70 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-58y=-58$$

Deildu báðum hliðum með -58.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=10y-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=10-14$$

Leggðu -14 saman við 10.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Til að gera x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

Einfaldaðu.

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

Dragðu -5x-8y=12 frá -5x+50y=70 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

Leggðu -5x saman við 5x. Liðirnir -5x og 5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$50y+8y=70-12$$

Leggðu 50y saman við 8y.

$$58y=70-12$$

Leggðu 70 saman við -12.

$$58y=58$$

Deildu báðum hliðum með 58.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í -5x-8y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x-8=12$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=1$$