Leysa {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Leystu x+y=a fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=a$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+a$$

Settu -y+a inn fyrir x í hinni jöfnunni, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Hefðu -y+a í annað veldi.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Leggðu y^{2} saman við y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1+1\left(-1\right)^{2} inn fyrir a, 1\left(-1\right)\times 2a inn fyrir b og -9+a^{2} inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Hefðu 1\left(-1\right)\times 2a í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Leggðu 4a^{2} saman við 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} þegar ± er plús. Leggðu 2a saman við 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Deildu 2a+2\sqrt{18-a^{2}} með 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{18-a^{2}} frá 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Deildu 2a-2\sqrt{18-a^{2}} með 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} og \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Skiptu \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} út fyrir y í jöfnunni x=-y+a til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Settu núna \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} inn fyrir y í jöfnunni x=-y+a og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

Leystu x+y=a fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=a$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+a$$

Settu -y+a inn fyrir x í hinni jöfnunni, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

Hefðu -y+a í annað veldi.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Leggðu y^{2} saman við y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1+1\left(-1\right)^{2} inn fyrir a, 1\left(-1\right)\times 2a inn fyrir b og -9+a^{2} inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Hefðu 1\left(-1\right)\times 2a í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

Leggðu 4a^{2} saman við 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} þegar ± er plús. Leggðu 2a saman við 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Deildu 2a+2\sqrt{18-a^{2}} með 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{18-a^{2}} frá 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

Deildu 2a-2\sqrt{18-a^{2}} með 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} og \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. Skiptu \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} út fyrir y í jöfnunni x=-y+a til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Settu núna \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} inn fyrir y í jöfnunni x=-y+a og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$