Leysa {l}{x^2+y^2=6}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 6 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\approx 0.633974596\text{, }y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}\approx -2.366025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\approx 2.366025404\text{, }y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}\approx -0.633974596$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=3,y^{2}+x^{2}=6$$

Leystu x-y=3 fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=3$$

Dragðu -y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=y+3$$

Settu y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, y^{2}+x^{2}=6.

$$y^{2}+\left(y+3\right)^{2}=6$$

Hefðu y+3 í annað veldi.

$$y^{2}+y^{2}+6y+9=6$$

Leggðu y^{2} saman við y^{2}.

$$2y^{2}+6y+9=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y^{2}+6y+3=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1+1\times 1^{2} inn fyrir a, 1\times 3\times 1\times 2 inn fyrir b og 3 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Hefðu 1\times 3\times 1\times 2 í annað veldi.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 3}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum 3.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\times 2}$$

Leggðu 36 saman við -24.

$$y=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 12.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4} þegar ± er plús. Leggðu -6 saman við 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-6}{4}$$

Deildu -6+2\sqrt{3} með 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{3} frá -6.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-6}{4}$$

Deildu -6-2\sqrt{3} með 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{-3+\sqrt{3}}{2} og \frac{-3-\sqrt{3}}{2}. Skiptu \frac{-3+\sqrt{3}}{2} út fyrir y í jöfnunni x=y+3 til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+3$$

Settu núna \frac{-3-\sqrt{3}}{2} inn fyrir y í jöfnunni x=y+3 og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}+3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+3,y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}+3,y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$$