Leysa {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+36-3y=0$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-3y=-36$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=90$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+90$$

Settu -y+90 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Leggðu -y saman við -3y.

$$-4y+90=-36$$

Dragðu 90 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-126$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Skiptu \frac{63}{2} út fyrir y í x=-y+90. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Leggðu 90 saman við -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+36-3y=0$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-3y=-36$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+36-3y=0$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-3y=-36$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Dragðu x-3y=-36 frá x+y=90 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+3y=90+36$$

Leggðu y saman við 3y.

$$4y=90+36$$

Leggðu 90 saman við 36.

$$4y=126$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Skiptu \frac{63}{2} út fyrir y í x-3y=-36. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Leggðu \frac{189}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{117}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$