Leysa {l}{x+y=8}{y=3x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=8$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+8$$

Settu -y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=0.

$$-3\left(-y+8\right)+y=0$$

Margfaldaðu -3 sinnum -y+8.

$$3y-24+y=0$$

Leggðu 3y saman við y.

$$4y-24=0$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=24$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-6+8$$

Leggðu 8 saman við -6.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=6$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=6$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Dragðu -3x+y=0 frá x+y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+3x+y-y=8$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+3x=8$$

Leggðu x saman við 3x.

$$4x=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í -3x+y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-3\times 2+y=0$$

Margfaldaðu -3 sinnum 2.

$$-6+y=0$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=6$$