Leysa {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=74$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+74$$

Settu -y+74 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Margfaldaðu 40 sinnum -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Leggðu -40y saman við 60y.

$$20y+2960=3660$$

Dragðu 2960 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$20y=700$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=35$$

Skiptu 35 út fyrir y í x=-y+74. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-35+74$$

Leggðu 74 saman við -35.

$$x=39$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=39,y=35$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=39,y=35$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Til að gera x og 40x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 40 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Einfaldaðu.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Dragðu 40x+60y=3660 frá 40x+40y=2960 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Leggðu 40x saman við -40x. Liðirnir 40x og -40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40y-60y=2960-3660$$

Leggðu 40y saman við -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Leggðu 2960 saman við -3660.

$$-20y=-700$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=35$$

Skiptu 35 út fyrir y í 40x+60y=3660. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$40x+60\times 35=3660$$

Margfaldaðu 60 sinnum 35.

$$40x+2100=3660$$

Dragðu 2100 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$40x=1560$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$x=39$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=39,y=35$$